Sejam u = 3 i - 4 j + 2 k , v = 2 i + 5 j - 3 k e w = 4 i + 7 j + 2 k . Encontre

a) 2 u - 3 v

b) 3 u + 4 v - 2 w

c) u . v , u . w , v . w

d) ||u|| , ||v|| , ||w||

Passo 1

Vamos lááá pessoal!

Temos os vetores

u = (3 , - 4,2)

v = (2,5 , - 3)

w = (4,7 , 2)

E aí queremos encontrar diferentes operações envolvendo esses vetores, então vamos lá!

Passo 2

a) 2 u - 3 v

Temos:

2 u - 3 v = 2 (3 , - 4,2) - 3 (2,5 , - 3)

2 u - 3 v = ( 6 , - 8,4 ) - (6 , 15 , - 9)

Subtraindo os vetores:

2 u - 3 v = ( 0 , - 23,13 )

Passo 3

b) 3 u + 4 v - 2 w

Agora fica assim:

3 u + 4 v - 2 w = 3 (3 , - 4,2) + 4 (2,5 , - 3) - 2 (4,7 , 2)

3 u + 4 v - 2 w = (9 , - 12 , 6) + (8 , 20 , - 12) - (8 , 14 , 4)

Então:

3 u + 4 v - 2 w = (9 , - 6 , - 10)

Fechou?

Passo 4

c) u . v , u . w , v . w

Agora vamos calcular alguns produtos internos:

u . v = (3 , - 4,2) . (2,5 , - 3)

u . v = 6 - 20 - 6 = - 20

Agora vamos para u . w :

u . w = (3 , - 4,2) . (4,7 , 2)

u . w = 12 - 28 + 4 = - 12

E por fim:

v . w = (2,5 , - 3) . (4,7 , 2)

v . w = 8 + 35 - 6 = 37

Certinho?

Passo 5

d) ||u|| , ||v|| , ||w||

E agora vamos encontrar o módulo de cada vetor:

||u|| = sqrt(u . u)

||u|| = sqrt(3^2 + (- 4)^2 + 2 ²) = sqrt(9 + 16 + 4) = sqrt(29)

Agora para v :

||v|| = sqrt(2^2 + 5^2 + (- 3)^2) = sqrt(4 + 25 + 9) = sqrt(38)

E para w :

||w|| = sqrt(4^2 + 7^2 + 2 ²) = sqrt(16 + 49 + 4) = sqrt(69)

E fimmm!

Resposta

a) 2 u - 3 v = ( 0 , - 23,13 )

b) 3 u + 4 v - 2 w = (9 , - 6 , - 10)

c) u . v = - 20 , u . w = - 12 , v . w = 37

d) ||u|| = sqrt(29) , ||v|| = sqrt(38) , ||w|| = sqrt(69)