Considere a curva C de R ³ , com 0 ≤ t ≤ 5 , dada por

F t = t 3 i - t 2 j + 2 t - 3 k

a) Encontre o ponto P de C que corresponde a t = 2

b) Encontre o ponto inicial Q e o ponto final Q ' de C

c) Encontre o vetor tangente unitário T à curva C que corresponde a t = 2

Passo 1

Boraaa que bora

a) Queremos encontrar F ( t ) quando t = 2 , ou seja:

F t = t 3 i - t 2 j + 2 t - 3 k

F 2 = 2 3 i - 2 2 j + 2 × 2 - 3 k

Então, isso é

F 2 = 8 i - 4 j + k

Que em formato de coordenadas nos dá o ponto:

P = ( 8 , - 4,1 )

Passo 2

b) Como a nossa curva é definida no intervalo 0 ≤ t ≤ 5 , o ponto inicial Q vai ser dado quanto t = 0 , e o ponto final Q ' quando t = 5 , sacou?

Então, quando t = 0 temos o ponto Q :

Q = 0 3 i - 0 2 j + 2 × 0 - 3 k = 0,0 , - 3

E quanto t = 5 , temos o ponto Q ' :

Q ' = 5 3 i - 5 2 j + 2 × 5 - 3 k = 125 , - 25 , 7

Ihuuu!

Passo 3

c) Como estamos falando de um vetor tangente, vamos começar obtendo a derivada de cada coordenada de F ( t ) . Lembrando que F ( t ) é dada por

F t = t 3 i - t 2 j + 2 t - 3 k

Temos que

F ' t = 3 t 2 . i - 2 t . j + 2 . k

Esse novo vetor é tangente a F ( t ) . Agora basta calcularmos o ponto correspondente quando t = 2 :

F ' 2 = 3 × 2 2 . i - 2 × 2 . j + 2 . k = ( 12 , - 4,2 )

Show, mas queremos o vetor unitário, então vamos normalizar

Passo 4

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividir ele pela sua norma. A norma do vetor ( 12 , - 4,4 ) é dada por

( 12 , - 4,2 ) = 12 2 + 4 2 + 2 2 = 164 = 2 × 41

Então, o vetor normalizado é dado por

v = ( 12 , - 4,2 ) 2 41

v = 6 , - 2,1 41

E fimmm

Resposta

a) P = ( 8 , - 4,1 )

b) Q = 0,0 , - 3 Q ' = 125 , - 25,7

c) v = 6 , - 2,1 41