Os ângulos α ,   β   e   γ que o vetor não nulo u = ( x , y , z ) faz respectivamente, com os vetores

i = 1,0 , 0 ,   j = 0,1 , 0   e     k = ( 0,0 , 1 )

(veja a figura abaixo) são chamados ângulos diretores do vetor u . Mostre que

a) cos ⁡ α = x u , cos ⁡   β = y | | u | | , cos ⁡ γ = z | | u | |

b) cos 2 ⁡ α   + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para nessa questão ele pede para acharmos os ângulos α ,   β   e   γ dado que o vetor não nulo u ( x , y , z ) faz respectivamente com os vetores

i = 1,0 , 0 ,   j = 0,1 , 0   e     k = ( 0,0 , 1 )

Achar os itens pedidos abaixo,

a) cos ⁡ α = x u , cos ⁡   β = y | | u | | , cos ⁡ γ = z | | u | |

b) cos 2 ⁡ α   + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

a) cos ⁡ α = x u , cos ⁡   β = y | | u | | , cos ⁡ γ = z | | u | |

cos ⁡ α = x u → cos ⁡ α = ( 1,0 , 0 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 → 1 3 → α = arccos ⁡ 1 3 = 61 °

cos ⁡ β = y u → cos ⁡ β = ( 0 , 1 , 0 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 → 1 3 → β = arccos ⁡ 1 3 = 61 °

cos ⁡ α = z u → cos ⁡ γ = ( 0 , 0 , 1 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 → 1 3 → γ = arccos ⁡ 1 3 = 61 °

Passo 3

Na letra (b) sabendo que,

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1   tendo sido encontrado o ângulo vamos ter que,

cos 2 ⁡ 61 + cos 2 ⁡ 61 + cos 2 ⁡ 61 = 1

Resposta

a) α = arccos ⁡ 1 3 = 61 ° , β = arccos ⁡ 1 3 = 61 ° , γ = arccos ⁡ 1 3 = 61 °

b) cos 2 ⁡ 61 + cos 2 ⁡ 61 + cos 2 ⁡ 61 = 1