Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas:

  1. se u →   e v → são l.i., então u →   , v →   e w → são l.i., para todo w → ;
  2. se u →   e v → são l.d., então u →   , v →   e w → são l.d., para todo w → ;
  3. se u → , v →   e   w → são l.d., então u →   e v →   são l.d.
  4. se u → , v →   e   w → são l.d., então u →   e v →   são l.i.

Passo 1

  1. Como discutimos na questão 31, o fato de u →   e v → serem l.i. não garante que u →   , v →   e w → sejam l.i. porque pode acontecer de w → ser combinação linear dos outros dois vetores. Você pode conferir, por exemplo, a figura em 32a).
  2. Passo 2

  3. Como já discutimos em 31b), essa afirmação é sempre verdadeira.
  4. Passo 3

  5. Essa afirmação é justamente o contrário do item b) mas isso não significa que ela seja verdadeira. Podemos ter casos em que w → é combinação de u →   e/ou v →   enquanto u →   e v → são l.i. Na figura 32a) vemos um exemplo disso.
  6. Passo 4

  7. Para que a afirmação u → , v →   e   w → são l.d., então u →   e v →   são l.i. basta mostrarmos uma situação em que u →   e v →   são l.d. Enquanto   w → é l.i. com u →   e v →   . Isso é justamente o que acontece na figura 32b).

Resposta

  1. F
  2. V
  3. F
  4. F