Aproxime a integral, com quatro casas decimais, por uma série infinita.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para resolvermos este exercício, primeiro vamos ter que representar a função como uma série de potência, depois vamos integrar ela, aí sim podemos achar a aproximação. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A integral do exemplo é:

∫ 0 , 1 0,2 arctan ⁡ x x d x

Representando a função dentro da integral em série de potência encontramos.

∫ 0,1 0,2 ( 1 - 1 3 x 2 + 1 5 x 4 - 1 7 x 6 + … ) d x

Integrando os termos.

x - x 3 9 + x 5 2 5 - x 7 49 + … 0,2 0,1

Usando somente os dois primeiros termos da série.

0,2 - 0,2 3 9 - 0,1 + 0,1 3 9 ≈ 0,0 992

Podemos concluir que o erro do nosso resultado é menor que o terceiro termo da nossa série, como aqui consideramos dois limites diferente de 0 , o erro é a soma do erro dos dois limites.

e r r o < ( 0,2 ) 5 25 + ( 0 , 1 ) 5 25 < 0 , 5 . 10 - 4

Logo, achamos um erro dentro do que o enunciado nos pede!!

Resposta

0,2 - 0,2 3 9 - 0,1 + 0,1 3 9 ≈ 0,0992