Aproxime a integral, com quatro casas decimais, por uma série infinita.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para resolvermos este exercício, primeiro vamos ter que representar a função como uma série de potência, depois vamos integrar ela, aí sim podemos achar a aproximação. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A integral do exemplo é:

∫ 0 1 / 2 arctan ⁡ x 2 d x

Representando a função dentro da integral em série de potência encontramos.

∫ 0 1 / 2 ( x 2 - 1 3 x 6 + 1 5 x 10 - 1 7 x 14 + … ) d x

Integrando os termos.

x 3 3 - x 7 21 + x 11 55 - x 15 105 + … 1 / 2 0

Usando somente os dois primeiros termos da série.

1 3 1 2 3 - 1 21 1 2 7 ≈ 0,0413

Podemos concluir que o erro do nosso resultado é menor que o terceiro termo da nossa série, então:

e r r o < 1 55 1 2 11 < 0,9.10 - 5

Logo, o erro este dentro do que o enunciado nos pede!!

Resposta

1 3 1 2 3 - 1 21 1 2 7 ≈ 0,0413