Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 0,2 ( 1 - x 2 ) 3 / 5 d x     ( E x e r c í c i o   5 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 5 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

( 1 - x ' ) 3 / 5 = 1   -   3 x ' 5 + 3 25 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! ( - x ' ) n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   x 2 , portanto, temos:

( 1 - x 2 ) 3 / 5 = 1   -   3 x 2 5 + 3 25 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! ( - x 2 n )

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 0,2 ( 1 - x 2 ) 3 / 5 d x   = ∫ 0 0,2 ( 1   -   3 x 2 5 + 3 25 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! ( - x 2 n ) ) d x =

= 0,2 - 3 15 ( 0,2 ) 3 + 3 125 ( 0,2 ) 5 + ∑ n = 3 ∞ 3 ( - 2 ) . . . ( 8 - 5 n ) 5 n n ! ( - x 2 n ) =

= 0,2 - 0,0016 + O ( - 6 ) = 0,198 + O ( - 6 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 0,2 ( 1 - x 2 ) 3 / 5 d x ≈ 0,198