Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 0,1 1 ( 1 + 5 x 2 ) 4 d x     ( E x e r c í c i o   8 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 8 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

( 1 + x ' ) - 4 = 1   - 4 x ' + 10 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 3 ) ( x ' ) n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   5 x 2 , portanto, temos:

( 1 + 5 x 2 ) - 4 = 1   - 20 x 2 + 250 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 3 ) ( 5 x 2 ) n

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 0,1 1 ( 1 + 5 x 2 ) 4 d x     = ∫ 0 0,1 ( 1   - 20 x 2 + 250 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 3 ) ( 5 x 2 ) n ) d x =

= 0,1 - 20 3 ( 0,1 ) 3 + 250 5 ( 0,1 ) 5 + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 5 n 2 n + 1 ( n + 3 ) x 2 n + 1 =

= 0,1 - 0,007 + O ( - 4 ) = 0,093 + O ( - 4 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 0,1 1 ( 1 + 5 x 2 ) 4 d x ≈ 0,093