Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 1 / 2 1 1 + x 2 3 d x     ( E x e r c í c i o   2 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 2 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

( 1 + x ' ) - 1 / 3 = 1   -   x ' 3 + 4 18 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 4 . . . ( 3 n - 2 ) 3 n n ! x ' n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   x 2 , portanto, temos:

( 1 + x 2 ) - 1 / 3 = 1   -   x 2 3 + 4 18 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 4 . . . ( 3 n - 2 ) 3 n n ! x 2 n

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 1 / 2 ( 1 + x 2 ) - 1 / 3 d x   = ∫ 0 1 / 2 ( 1   -   x 2 3 + 4 18 x 4 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 4 . . . ( 3 n - 2 ) 3 n n ! x 2 n ) d x =

= 0,5 + 1 9 ( 0,5 ) 3 + 4 90 ( 0,5 ) 5 + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 4 . . . ( 3 n - 2 ) 3 n ( 2 n + 1 ) n ! x 2 n + 1 =

= 0,5 + 0,014 + 0,0014 + O ( - 4 ) = 0,515   +   O ( - 4 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 1 / 2 1 1 + x 2 3 d x ≈ 0,515