Enunciado

Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 0,4 ( 1 - x 3 ) 2 / 3 d x     ( E x e r c í c i o   6 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 6 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

( 1 - x ' ) 2 / 3 = 1   -   2 x ' 3 + 1 9 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n n ! ( - x ' ) n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   x 3 , portanto, temos:

( 1 - x 3 ) 2 / 3 = 1   -   2 x 3 3 + 1 9 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n n ! ( - x 3 n )

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 0,4 ( 1 - x 3 ) 2 / 3 d x   = ∫ 0 0,4 ( 1   -   2 x 3 3 + 1 9 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n n ! ( - x 3 n ) ) d x =

= 0,4 - 2 12 ( 0,4 ) 4 + 3 63 ( 0,4 ) 7 + ∑ n = 3 ∞ 2 ( - 1 ) . . . ( 5 - 3 n ) 3 n ( 3 n + 1 ) n ! ( - x 3 n + 1 ) =

= 0,4 - 0,004 + O ( - 5 ) = 0,396 + O ( - 5 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 0,4 ( 1 - x 3 ) 2 / 3 d x ≈ 0,396