Enunciado

Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 0,3 1 ( 1 + x 3 ) 2 d x     ( E x e r c í c i o   7 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 7 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

( 1 + x ' ) - 2 = 1   - 2 x ' + 3 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 ) ( - x ' ) n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   x 3 , portanto, temos:

( 1 + x 3 ) - 2 = 1   - 2 x 3 + 3 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 ) ( - x 3 n )

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 0,3 1 ( 1 + x 3 ) 2 d x   = ∫ 0 0,3 ( 1   - 2 x 3 + 3 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 ) ( - x 3 n ) ) d x =

= 0,3 - 2 4 ( 0,3 ) 4 + 3 7 ( 0,3 ) 7 + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 3 n + 1 ( n + 1 ) ( - x 3 n + 1 ) =

= 0,3 - 0,004 + O ( - 5 ) = 0,296 + O ( - 5 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 0,3 1 ( 1 + x 3 ) 2 d x ≈ 0,296