Aproxime a integral com três casas decimais, usando o exercício indicado.

∫ 0 1 / 2 1 + x 3 d x     ( E x e r c í c i o   1 )

Passo 1

Eaew, como vai? Vamos resolver mais um exercício?

Este exercício foi retirado do livro “Cálculo com Geometria Analítica” , 2ª Edição e volume 2. Essa informação é importante pois iremos utilizar o resultado de outro exercício em sua resposta. No exercício 1 citado, nós mostramos a seguinte expansão binomial:

1 + x ' = 1   +   x ' 2 - 1 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 × 3 . . . ( 2 n - 3 ) 2 n n ! x ' n

Podemos identificar nosso integrando fazendo simplesmente x '   =   x 3 , portanto, temos:

1 + x 3 = 1   +   x 3 2 - 1 8 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 × 3 . . . ( 2 n - 3 ) 2 n n ! x 3 n

Vamos realizar a integração pedida então:

∫ 0 1 / 2 1 + x 3 d x   = ∫ 0 1 / 2 ( 1   +   x 3 2 - 1 8 x 6 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 × 3 . . . ( 2 n - 3 ) 2 n n ! x 3 n ) d x =

= 0,5 + 1 8 ( 0,5 ) 4 - 1 56 ( 0,5 ) 7 + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n - 1 1 × 3 . . . ( 2 n - 3 ) 2 n ( 3 n + 1 ) n ! x 3 n + 1 =

= 0,5 + 0,0078 - 0,00014 + O ( - 4 ) = 0,508   +   O ( - 4 )

Esta é a nossa resposta! Te vejo no próximo exercício!

Resposta

∫ 0 1 / 2 1 + x 3 d x ≈ 0,508