Responde Aí
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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 116

A área do triângulo de vértices A ,   B e C é 1 2 | A B → ∧ A C → | . Mudando-se a ordem dos vértices, a fórmula apresenta-se de outras maneiras (por exemplo: 1 2 | B A → ∧ B C → | ). Mostre que as outras cinco formas de cálculo conduzem sempre ao mesmo resultado da primeira.

Passo 1

Fala, pessoal! É resolução de questões que vocês querem? Então, toma aí mais uma resolução bem no estilo Responde Aí.

Vocês já devem estar ligados que a área do triângulo é dada por 1 2 | A B → ∧ A C → | . Mas, que outros vetores do triângulo podemos usar? Vamos mostrar nessa questão que podemos usar quaisquer dois vetores que indiquem os lados do triângulo.

Para começar, precisamos lembrar que

A C → = A B → + B C →

Então,

A B → ∧ A C → = A B → ∧ ( A B → + B C → ) = A B → ∧ A B → + A B → ∧ B C → = 0 → + A B → ∧ B C → = - B A → ∧ B C →

⇒ | A B → ∧ A C → | = | B A → ∧ B C → |

Da mesma forma que

A B → = A C → + C B →

nos dá

A B → ∧ A C → = C B → ∧ A C → = - C B → ∧ C A → ⇒ | A B → ∧ A C → | = | C B → ∧ C A → |

Passo 2

Agora, vemos que mesmo com A B → ∧ A C → = - A C → ∧ A B → , quando tomamos o módulo ficamos com | A B → ∧ A C → | = | A C → ∧ A B → | . Então, mudar a ordem dos vetores não altera a fórmula da área. Assim, vemos que a fórmula da área do triângulo pode ser obtida de seis formas diferentes:

1 2 | A B → ∧ A C → | = 1 2 | A C → ∧ A B → | = 1 2 | B A → ∧ B C → | = 1 2 | B C → ∧ B A → | = 1 2 | C B → ∧ C A → | = 1 2 | C A → ∧ B C → |

Resposta

Veja a resolução acima.