Um atleta percorre uma pista de 100   m de modo que a distância s ( t ) percorrida após t segundos é dada por s t = 1 5 t 2 + 8 t   m (veja a Figura). Determine a velocidade do atleta.

  1. No início da corrida.
  2. Quando t = 5   s .
  3. Na reta final.

Passo 1

Segundo a Definição (3.3), suponhamos que um ponto P percorra uma reta coordenada l de modo que sua coordenada no instante t seja s t . A velocidade v a de P no instante a é

v a = lim h  → 0 ⁡ s a + h - s ( a ) h

Desde que o limite exista.

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.3), vamos resolver a questão.

  1. Para determinar a velocidade em t = a , vamos utilizar a seguinte equação
  2. v a = lim h  → 0 ⁡ s a + h - s ( a ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 1 5 a + h 2 + 8 ( a + h ) - 1 5 a 2 + 8 a h

    = lim xh → 0 ⁡ 1 5 a 2 + 2 a h + h 2 + 8 a + 8 h - 1 5 a 2 - 8 a h

    = lim h  → 0 ⁡ 1 5 a 2 + 2 5 a h + 1 5 h 2 + 8 h - 1 5 a 2 h

    = lim h  → 0 ⁡ 2 5 a h + 1 5 h 2 + 8 h h

    = lim h  → 0 ⁡ h 2 5 a + 1 5 h + 8 h

    = lim h  → 0 ⁡ 2 5 a + 1 5 h + 8

    Substituindo h ,

    = 2 5 a + 1 5 × 0 + 8

    v a = 2 a 5 + 8   m / s 2

    Considerando t = 0 , temos que v 0 é igual a,

    v 0 = 2 × 0 5 + 8

    v 0 = 8   m / s 2

    Passo 3

  3. Para t = 5 ,
  4. v = 2 × 5 5 + 8 = 10 5 + 8

    v = 10   m / s 2

    Passo 4

  5. Para s ( t ) = 100 , temos que

s t = 1 5 t 2 + 8 t

100 = 1 5 t 2 + 8 t

1 5 t 2 + 8 t - 100 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau e encontrando suas raízes, temos aqui duas situações,

t = 10 t = - 50

Considerando que o tempo não pode ser negativo, temos que a velocidade na reta final em t = 10   s é,

v = 2 × 10 5 + 8 = 20 5 + 8 = 4 + 8

v = 12   m / s 2

Resposta

a   v 0 = 8   m / s 2

b   v = 10   m / s 2  

c   v = 12   m / s 2