Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir igualmente entre si as moedas de uma arca, verificou que haveria uma sobra de 3 moedas. Seguiu-se uma discussão, na qual um pirata foi morto. Na nova tentativa de divisão já com um pirata a menos, verificou-se que haveria uma sobra de 10 moedas. Nova confusão, e mais um pirata foi morto. Então, por fim, eles conseguiram dividir igualmente as moedas entre si. Qual o menor número de moedas que a arca poderia conter?

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos escrever nossas equações dadas no enunciado, sendo x o número de moedas e q a quantidade de moedas que cada pirata iria receber:

x 17 = q 1 + 3 ⇒ x ≡ 3   m o d ( 1 7 )

x 16 = q 2 + 10 ⇒ x ≡ 1 0   m o d ( 1 6 )

x 15 = q 3 ⇒ x ≡ 0   m o d ( 15 )

Podemos então aplicar o querido teorema Chinês do resto, o TCR, isto é, temos que descobrir x 0 - = a 1 ⋅ N 1 ⋅ ñ 1   + a 2 ⋅ N 2 ⋅ ñ 2 + a 3 ⋅ N 3 ⋅ ñ 3 .

Bora lá!

Passo 2

  x ≡ 3   ( m o d   1 7 ) ,   x ≡ 10 ( m o d   1 6 )   e   x ≡ 0   ( m o d   15 ) . Vamos separar nas incógnitas de acordo com o TCR.

a 1 = 3 , a 2 = 10 ,   a 3 = 0 ;

n 1 = 1 7 , n 2 = 1 6 ,   n 3 = 1 5 ;

n = 1 7 ⋅ 1 6 ⋅ 1 5 = 4080 ;

N 1 = 1 6 ⋅ 1 5 = 240 ,   N 2 = 1 7 ⋅ 1 5 = 255 ,   N 3 = 1 7 ⋅ 1 6 = 272 .

Passo 3

As congruências N 1 x 1 ≡ 1   m o d   1 7 ,   N 2 x 2 ≡ 1   m o d   1 6 ,   N 3 x 3 ≡ ( m o d   1 5 ) , são:

240 x 1 ≡ 1   ( m o d   1 7 ) , 240 ÷ 1 7 → 14 1 7 + 2 então podemos reescrever como 2 x 1 ≡ 1   ( m o d   1 7 ) ,

2 ⋅ k ' + 1 7 ⋅ k 0 ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' , k 0 ' = ( - 8 ,   1 )

A solução é x 1 ≡ - 8   ( m o d   1 7 ) ;

255 x 2 ≡ 1   m o d   1 6 , 255 ÷ 1 6 → 1 5 1 6 + 15 então podemos reescrever como 15 x 2 ≡ 1   ( m o d   1 6 ) ,

15 ⋅ k ' ' + 1 6 ⋅ k 0 ' ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' ' , k 0 ' ' = ( - 1 , 1 )

A solução é x 2 ≡ - 1   ( m o d   1 1 ) ;

272 x 3 ≡ 1   ( m o d   1 5 ) , 272 ÷ 1 5 → 18 1 5 + 2 então podemos reescrever como 2 x 3 ≡ 1   ( m o d   1 5 ) ,

2 ⋅ k + 1 5 ⋅ k 0 = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k , k 0 = ( - 7 ,   1 )

A solução é x 3 ≡ - 7   ( m o d   1 3 ) .

Passo 4

Agora sim podemos solucionar o problema pois temos todas as variáveis da expressão!

x 0 - = 3 ⋅ 240 ⋅ - 8 + 10 ⋅ 255 ⋅ - 1 + 0 ⋅ 272 ⋅ - 7 = - 8310

A solução geral do problema então é

x = x 0 - + n t   c o m   t ∈ Z

x = - 8310 + 4080 t  

Podemos reescrever para deixar positivo pois não existe número de moedas negativo da seguinte forma:

4080 ⋅ 2 - 8310 = 3930 → x = 3930 + 4080 t

Portanto, o menor número de moedas possível é 3930.

Resposta

3930