Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir igualmente entre si as moedas de uma arca, verificou que haveria uma sobra de 3 moedas. Seguiu-se uma discussão, na qual um pirata foi morto. Na nova tentativa de divisão já com um pirata a menos, verificou-se que haveria uma sobra de 10 moedas. Nova confusão, e mais um pirata foi morto. Então, por fim, eles conseguiram dividir igualmente as moedas entre si. Qual o menor número de moedas que a arca poderia conter?
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Vamos escrever nossas equações dadas no enunciado, sendo x o número de moedas e q a quantidade de moedas que cada pirata iria receber:
Podemos então aplicar o querido teorema Chinês do resto, o TCR, isto é, temos que descobrir .
Bora lá!
Passo 2
. Vamos separar nas incógnitas de acordo com o TCR.
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Passo 3
As congruências , são:
, então podemos reescrever como ,
A solução é ;
então podemos reescrever como ,
A solução é ;
, então podemos reescrever como ,
A solução é .
Passo 4
Agora sim podemos solucionar o problema pois temos todas as variáveis da expressão!
A solução geral do problema então é
Podemos reescrever para deixar positivo pois não existe número de moedas negativo da seguinte forma:
Portanto, o menor número de moedas possível é 3930.
Resposta
3930