B → =   ( i → , j → , k → ) é uma base ortonormal de orientação positiva.

a → =   x i →   - y j →   +   y k → , b → =   2 x i →   + y j →   +   x k → e c → =   - y i →   + x j →   +   y k → . Determine x e y de modo que ( a → , b → , c → ) seja uma base ortonormal positiva.

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão para a gente resolver. Então, bora lá?

Como vocês devem lembrar, para que ( a → , b → , c → ) seja uma base ortonormal positiva, devemos ter

a → ∧ b → = c →

b → ∧ c → = a →

c → ∧ a → = b →

Antes, vamos começar escrevendo a → , b → e c → de uma forma mais amigável:

a → =   x i →   - y j →   +   y k →   =   ( x ,   - y ,   y )

b → =   2 x i →   + y j →   +   x k →   =   ( 2 x ,   y ,   x )

c → =   - y i →   + x j →   +   y k →   =   ( - y ,   x ,   y )

Agora, vamos ao bom e velho determinante de a → ∧ b →

⎜       i →                         j →                   k →     ⎜

⎜     x         - y                   y     ⎜ =   i →     ⋅ ( - y x - y 2 ) - j → ⋅ ( x 2 - 2 x y ) + k → ⋅ ( x y + 2 x y )

⎜ 2 x                     y                   x       ⎜

Como a → ∧ b → = c → , podemos montar o seguinte sistema:

  i →     ⋅ ( - y x - y 2 ) - j → ⋅ ( x 2 - 2 x y ) + k → ⋅ ( x y + 2 x y )   =   - y i →   + x j →   +   y k →  

- y x - y 2   =   - y

x 2 - 2 x y   =   x

x y + 2 x y   =   y

Da terceira equação podemos obter o valor de x :

x y + 2 x y   =   y   ⇒   x   +   2 x   =   1   ⇒   x   =   1 3

Vamos substituir esse resultado na primeira equação:

- y x - y 2   =   - y   ⇒   x   +   y   =   1   ⇒   y   =   1   -   1 3   =   2 3

Logo, achamos bem facinho os valores de x   = 1 3 e y   = 2 3 . Muito bom, né? Então manda a sua próxima dúvida que a gente Responde Aí.

Resposta

x   =   1 3 e y   =   2 3