Enunciado

Se ( i → , j → , k → ) é uma base ortonormal positiva, a sequência ( i → ∧ k → , j → ∧ i →   ,   j   → ∧ k → ) é uma base ortonormal de V ? Em caso afirmativo, ela é positiva ou negativa?

Passo 1

Pessoal, se ( i → , j → , k → ) é uma base ortonormal positiva, isso quer dizer que

i → ∧ k → = - j →

j → ∧ i → = - k →

j   → ∧ k → = i →

Então, a sequência ( i → ∧ k → , j → ∧ i →   ,   j   → ∧ k → ) é na verdade ( - j → , - k →   ,   i   → ) . Para testar se ela é positiva, temos que calcular o produto vetorial do primeiro com o segundo vetor resultando no terceiro; do segundo com o terceiro resultando no primeiro; do terceiro com o primeiro, resultando no segundo. Todos com sinais positivos. Então vamos verificar se isso é válido

  • Primeiro com segundo
  • ( - j   → ) ∧ ( - k → ) = j   → ∧ k → = i → (obtivemos o terceiro com sinal positivo)

  • Segundo com terceiro
  • ( - k ) → ∧ i → = i → ∧ k → = ( - j → ) (obtivemos o primeiro com sinal positivo)

  • Terceiro com primeiro

i → ∧ ( - j → ) = ( - k → ) (obtivemos o segundo com sinal positivo)

Então, como obtivemos os vetores todos com sinal positivo, quer dizer que a sequência ( i → ∧ k → , j → ∧ i →   ,   j   → ∧ k → ) é uma base positiva.

Resposta

Sim, positiva.