Para quais das bicondicionais seguintes seria correto dizer que a primeira proposição (função proposicional na variável real x) acarreta a segunda?

a) 2x − 5 ≥ 5 se, e somente se, x > 5.

b) Se x 2 + 3x + 2

c) sen(x) = sen(2x) se, e somente se, x = 0.

d) Uma matriz quadrada A é invisível se, e somente se, det(A) 6= 0.

e) As retas y = 2x e y = mx + n são perpendiculares se, e somente sem 2m + 1 = 0.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Nesse exercício devemos descobrir se a alternativa é verdadeira ou falsa, através de implicações ( ⇒ ) . Vamos lá.

  1. Basta resolvermos a inequação,
  2. 2 x - 5 ≥ 5

    x ≥ 5

    Dessa forma, a afirmativa é incorreta pois x deve ser maior ou igual, não só maior.

    Passo 2

  3. Vamos resolver a inequação,
  4. x 2   +   3 x   +   2   <   0 → x 2 + 3 x + 2 = 0

    x 1 = - 2   o u   x 2 = 1

    - 2 < x < 1

    A proposição é verdadeira.

    Passo 3

  5. As proposições são verdadeiras, pois s e n x = s e n 2 x ⇒ x = 2 k π , se k = 0 .
  6. Passo 4

  7. Por definição essa é uma afirmativa correta, a demonstração é bastante longa, portanto, indico procurar aqui mesmo no Responde aí para ficar por dentro!
  8. Passo 5

  9. Se as retas são perpendiculares, por definição, a multiplicação dos coeficientes angulares é igual a -1, isto é, m 1 ⋅ m 2 = - 1 → 2 ⋅ m = - 1 → m = - 1 / 2 .

Portanto, podemos retirar essa equação e afirmar que as proposições são verdadeiras, 2 m - 1 = 0 .

Resposta

  1. Incorreta
  2. Correta
  3. Correta
  4. Correta
  5. Correta