Em cada caso a seguir, verifique se a operação * sobre E é associativa.

  1. E = R e x * y = x + y 2
  2. E = R e x * y = x
  3. E = R + e x * y = x 2 + y 2
  4. E = R e x * y = x 3 + y 3 3

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos testar se cada caso é associativo a partir da definição

∀ x ,   y ,   z ∈ R ⇒ x * y * z = x * ( y * z )

  1. Começando, bora
  2. x + y 2 * z = x * y + z 2

    x + y 2 + z 2 = x + y + z 2 2

    2 x + y + 2 z 2 2 = 2 x + 2 y + z 2 2

    2 x + y + 2 z 4 = 2 x + 2 y + z 4

    Portanto a operação não é associativa.

    Passo 2

  3. x * y * z = x * y * z

    x ⋅ z = x ⋅ y

    Como y é diferente de z, a propriedade não é associativa.

    Passo 3

  4. x 2 + y 2 + z = x + y 2 + z 2

    x 2 + y 2 2 = x + y 2 + z 2 - z 2

    x 2 + y 2 = 2 z 2 - 2 x z - 2 z y 2 + z 2 + 2 x y 2 + z 2 + y 2 + x 2

    Subtraindo x 2 + y 2 de ambos os lados temos:

    0 = 2 z 2 - 2 x z - 2 z y 2 + z 2 + 2 x y 2 + z 2

    - 2 z 2 + 2 z y 2 + z 2 = - 2 x z + 2 x y 2 + z 2

    - 2 z 2 + 2 z y 2 + z 2 = 2 x - z + y 2 + z 2

    Dividindo ambos os lados por 2 - z + y 2 + z 2

    - 2 z 2 + 2 z y 2 + z 2 2 - z + y 2 + z 2 = 2 x - z + y 2 + z 2 2 - z + y 2 + z 2

    x = z ⇒ x 2 + y 2 + z = x + y 2 + z 2

    Portanto, esse é um caso associativo.

    Passo 4

  5. Vamos resolver de forma análoga ao item anterior. Recomendo usar o aplicativo Wolfram para resolver esse exercício!

x 3 + y 3 3 + z = x + y 3 + z 3 3

x 3 + y 3 3 3 = x + y 3 + z 3 3 - z 3

x 3 + y 3 = x 3 + y 3 + 3 x 2 - 2 x z + z 2 y 3 + z 3 3 - 3 x 2 z + 3 x - z y 3 + z 3 2 3 + 3 x z 2

Subtraindo x 3 + y 3 de ambos os lados:

0 = 3 x - z 2 y 3 + z 3 3 + 3 x - z y 3 + z 3 2 3 + 3 x z ( z - x )

3 x z ( - z + x ) = 3 x - z 2 y 3 + z 3 3 + 3 x - z y 3 + z 3 2 3

Dividindo agora por 3(x – z):

1 = ( x - z ) y 3 + z 3 3 + y 3 + z 3 3 ⋅ y 3 + z 3 3

1 = y 3 + z 3 3 x - z + y 3 + z 3 3

1 y 3 + z 3 3 = x - z + y 3 + z 3 3

Mas, x - z + y 3 + z 3 3 = x 3 + y 3 3

1 y 3 + z 3 3 = x 3 + y 3 3

Elevando os dois lados ao cubo:

1 y 3 + z 3 = x 3 + y 3

Esse resultado só é possível se x = z = 0 ,   1   o u - 1 , portanto é associativa.

Resposta

c , d são associativas.