Em cada caso a seguir, verifique se a operação * sobre E é associativa.

e) E = R * e x * y = x y

f) E = R + e x * y = x + y 1 + x y

g) E = Z e x * y = x y + 2 x

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos testar se cada caso é associativo a partir da definição

∀ x ,   y ,   z ∈ R ⇒ x * y * z = x * ( y * z )

e)

x y z = y z x

x y z = y x z

Não é associativa, pois divisão não é associativa.

Passo 2

f)

x + y 1 + x y * z = x * y + z 1 + z y

Vamos simplificar o lado esquerdo:

z + x + y 1 + x y z ⋅ x + y 1 + x y + 1 = z + z x y + x + y 1 + x y z x + z y + 1 + x y 1 + x y

z + z x y + x + y z x + z y + 1 + x y

E agora o lado direito

x + z + y 1 + z y x ⋅ z + y 1 + z y + 1 = x + x y z + z + y 1 + z y x z + x y + 1 + z y 1 + z y

x + x y z + z + y x z + x y + 1 + z y

Vamos igualar:

z + z x y + x + y z x + z y + 1 + x y = x + x y z + z + y x z + x y + 1 + z y

Vamos simplificar em cima pois são iguais:

x z + x y + 1 + z y = z x + z y + 1 + x y

Vamos simplificar mais, removendo xz, 1 e xy

x y = z y

x = z

Portanto o caso é associativo.

Passo 3

g)

x y + 2 x * z = x * y z + 2 y

2 x + x y + 2 x + x y z = x + x ( 2 y + y z )

2 x + x y + 2 x z + x y z = x + 2 x y + x y z

x + 2 x z = x y

x 1 + 2 z = x y

1 + 2 z = y

Não é associativa.

Resposta

f é associativa.