Em cada caso a seguir, verifique se a operação * sobre E é associativa.

h) E = Q e x * y = x + x y

i) E = R e x * y = x + y - 2 x 2 y 2

j) E = R e x * y = x 2 + y 2 + 2 x y

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos testar se cada caso é associativo a partir da definição

∀ x ,   y ,   z ∈ R ⇒ x * y * z = x * ( y * z )

h)

x y + x * z = x * y z + y

x + x y + x + x y z = x + x ( y + y z )

x + x y + x z + x y z = x + x y + x y z

x z = 0

Não é associativa.

Passo 2

i)

x + y - 2 x 2 y 2 * z = x * ( z + y - 2 z 2 y 2 )

x + y - 2 x 2 y 2 2 + z 2 = x 2 + z + y - 2 z 2 y 2 2

x 2 + + 2 x y - 4 x 3 y 2 + y 2 - 2 y 3 x 2 - 2 x 2 y 3 + 4 x 4 y 4 + z 2 = …

Pessoal já da pra saber que não é associativa, não conseguimos cancelar nada com o outro lado para simplificar.

Passo 3

j) analogamente ao exercício anterior, vamos ter uma equação gigantesca que não conseguiremos cancelar nada, e ela vai se mostrar não associativa.

Resposta

Nenhuma é associativa.