Em cada item dê um exemplo de uma TL satisfazendo as condições dadas:

  1. R : R 2 → R 2 uma reflexão com R 0,1 = ( 0 , - 1 ) ;
  2. P : R 2 → R 2 uma projeção ortogonal numa reta com P 1,1 = ( 1,1 )
  3. T : R 3 → R 3 uma reflexão tal que T 2,2 , 2 = ( 0,01 )
  4. S : R 3 → R 3 uma projeção ortogonal tal que S 2,1 , 2 = 2 , 3 2 , 3 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para darmos um exemplo de TL que satisfaça a condição dada blz?

Mas antes disso você o que é uma transformação linear (TL)? Não?

Então uma transformação linear é definida como,

T u 1 + u 2 = T u 1 + T u 2 , com u 1 ,   u 2 ∈ U

E a partir disso montamos a matriz linear.

Deu para entender sobre matriz ou ficou confuso?

Tá confuso, então vamos resolver ela que vou te mostrar que não é difícil

Na letra (a) o primeiro é entender o processo de reflexão pela fórmula R H = 2 P H - I

R : R 2 → R 2 , sendo R 0,1 = ( 0 , - 1 ) vamos ter que,

R H = 2   2 0 0 - 2 - 1 0 0 - 1 = 1 0 0 - 1

Passo 2

Já na letra (b) ele pede a projeção ortogonal de uma reta com P 1,1 = ( 1,1 ) , sendo R 2 →   R 2

E para resolver uma projeção ortogonal podemos utilizar

P H B = < u | b > < u | u >   u

P H B = <   1 1 1 1   > <   1 1 1 1 >     1 1 → 1 4 1 1 1 1 → 1 2   1 1 1 1

Passo 3

Na letra ( c ) vamos utilizar da mesma formula de reflexão utilizada na letra (a), que é R H = 2 P H - I . Com isso, tendo T : R 3 → R 3 , tal que T 2,2 , 2 = ( 0,01 )

R H = 2 2 2 2 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0

R H = 4 4 4 0 0 2 - 1 0 0 0 1 0 = 3 4 4 0 - 1 2

Passo 4

Na letra (d) vamos usar o mesmo método do passo 2 só que para projeção R 3 →   R 3 , isso vai resultar em,

1 17   2 1 2 2 3 2 3 2 → < 2 2 1 3 2 2 3 2   > < 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2   >   2 3 2 3 2 →   2 17   2 1 2 2 3 2 3 2  

Resposta

  1. 1 0 0 - 1
  2. 1 2   1 1 1 1
  3. 3 4 4 0 - 1 2
  4. 2 17   2 1 2 2 3 2 3 2