Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas:

T : R 2 → R 2 que tenha 2 como único autovalor e seja diagonalizável.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!

Para resolver esse exercício vamos usar o teorema abaixo:

Seja A uma matriz n × n . A matriz A é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n .

Com esse teorema em mente, vamos para o exercício.

Passo 2

Como T é diagonalizável e possui apenas o autovalor 2 , segue pelo teorema apresentado no passo 1 que o autoespaço associado ao autovalor 2 deve possuir dimensão 2 , ou seja, deve ser o próprio R 2 . Sendo assim, para todo vetor x , y ∈ R 2 , devemos ter:

T x , y = 2 x , y = ( 2 x , 2 y )

Sendo assim, concluímos que a transformação linear que satisfaz as condições do enunciado é dada por T x , y = ( 2 x , 2 y ) .

Resposta

T x , y = ( 2 x , 2 y ) .