Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas:
que tenha como único autovalor e seja diagonalizável.
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!
Para resolver esse exercício vamos usar o teorema abaixo:
Seja uma matriz . A matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de é .
Com esse teorema em mente, vamos para o exercício.
Passo 2
Como é diagonalizável e possui apenas o autovalor , segue pelo teorema apresentado no passo 1 que o autoespaço associado ao autovalor deve possuir dimensão , ou seja, deve ser o próprio . Sendo assim, para todo vetor , devemos ter:
Sendo assim, concluímos que a transformação linear que satisfaz as condições do enunciado é dada por .
Resposta
.