Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas:

T : R 3 → R 3 que tenha 1,0 , 0 e ( 0,1 , 1 ) como autovetores respectivamente associado aos autovalores - 1 e 3 e seja diagonalizável.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!

Para resolver esse exercício vamos usar os dois teoremas abaixo:

1-Seja A uma matriz n × n . A matriz A é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n .

2- Sejam λ 1 ,   … ,   λ n autovalores distintos de T e H i autoespaço associado a λ i . Se β 1 ⊂ H 1 ,   … ,   β n ⊂ H n são conjuntos LI’s, então a união deles β 1 ⋃ … ⋃   β n também é LI.

Com esses teoremas em mente, vamos para o exercício.

Passo 2

Sejam U e V os autoespaços associados aos autovalores - 1 e 3 , respectivamente. Pelo teorema 1 do passo 1, para que T seja diagonalizável devemos ter dim ⁡ U + dim ⁡ V = 3 . Consideramos então que dim ⁡ U = 2 e dim ⁡ V = 1 . Para construir U e V , devemos considerar além das suas dimensões, o fato de que U ⋂ V = { 0 } e que 1,0 , 0 ∈ U e 0,1 , 1 ∈ V . Fazemos então U =   < 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 > e V =   < 0,1 , 1 > . Sendo assim, pelo teorema 2 do passo 1, segue que se juntarmos o conjunto LI { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 } do autoespaço associado ao autovalor - 1 com o conjunto LI { 0 , 1 , 1 } associado ao autovalor 3 , obtemos o conjunto { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 ,   0 , 1 , 1 } que é LI, e consequentemente é uma base para R 3 . Além do mais, temos que:

T 1,0 , 0 = - 1 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 0 )

T 0,1 , 0 = - 1 0,1 , 0 = ( 0 , - 1,0 )

T 0,1 , 1 = 3 0,1 , 1 = ( 0,3 , 3 )

Passo 3

Para completar o exercício, basta encontrarmos os coeficientes a , b e c tais que x , y , z = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c ( 0 , 1 , 1 ) para um vetor ( x , y , z ) qualquer, pois assim podemos escrever T ( x , y , z ) em relação a T ( 1,0 , 0 ) , T 0,1 , 0 e T ( 0 , 1 , 1 ) . Temos que:

x , y , z = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,1 , 1 ⇒

x , y , z = a , b + c , c ⇒

a = x b + c = y c = z

Podemos ver de imediato que a solução do sistema é dada por a = x ,   b = y - z e c = z . Com isso, finalmente segue que:

T x , y , z = T x 1,0 , 0 + y - z 0,1 , 0 + z 0,1 , 1 ⇒

T x , y , z = x T 1,0 , 0 + y - z T 0,1 , 0 + z T 0,1 , 1 ⇒

T x , y , z = x - 1,0 , 0 + y - z 0 , - 1,0 + z 0,3 , 3 ⇒

T x , y , z = - x ,   - y - z + 3 z ,   3 z ⇒

T x , y , z = ( - x ,   4 z - y ,   3 z )

Portanto, a transformação T procurada é dada por T x , y , z = ( - x ,   4 z - y ,   3 z ) .

Resposta

T x , y , z = ( - x ,   4 z - y ,   3 z ) .