Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas:
que tenha e como autovetores respectivamente associado aos autovalores e e seja diagonalizável.
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!
Para resolver esse exercício vamos usar os dois teoremas abaixo:
1-Seja uma matriz . A matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de é .
2- Sejam autovalores distintos de e autoespaço associado a . Se são conjuntos LI’s, então a união deles também é LI.
Com esses teoremas em mente, vamos para o exercício.
Passo 2
Sejam e os autoespaços associados aos autovalores e , respectivamente. Pelo teorema 1 do passo 1, para que seja diagonalizável devemos ter . Consideramos então que e . Para construir e , devemos considerar além das suas dimensões, o fato de que e que e . Fazemos então e . Sendo assim, pelo teorema 2 do passo 1, segue que se juntarmos o conjunto LI do autoespaço associado ao autovalor com o conjunto LI associado ao autovalor , obtemos o conjunto que é LI, e consequentemente é uma base para . Além do mais, temos que:
Passo 3
Para completar o exercício, basta encontrarmos os coeficientes , e tais que para um vetor qualquer, pois assim podemos escrever em relação a , e . Temos que:
Podemos ver de imediato que a solução do sistema é dada por e . Com isso, finalmente segue que:
Portanto, a transformação procurada é dada por .
Resposta
.