Em cada item dê um exemplo de TL:

T : R 3 → R 3 que tenha x - y + z = 0 como autoespaço associado ao autovalor 2 e que tenham também - 1 como autovalor.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Para resolver esse problema vamos utilizar o seguinte teorema:

Sejam λ 1 ,   … ,   λ n autovalores distintos de T e H i autoespaço associado a λ i . Se β 1 ⊂ H 1 ,   … ,   β n ⊂ H n são conjuntos LI’s, então a união deles β 1 ⋃ … ⋃   β n também é LI.

Passo 2

Primeiramente, podemos observar que o autoespçao x - y + z = 0 pode ser dado por < 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 > . Agora, vamos escolher um autoespaço V relacionado ao autovalor - 1 , respeitando V   ⋂ < 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 > = { 0 } , já que um vetor não pode estar associado a dois autovalores. Fazemos então V = < 1,0 , 0 > . Sendo assim, pelo Teorema do Passo 1, segue que se juntarmos o conjunto LI { 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 } do autoespaço associado ao autovalor 2 com o conjunto LI { 1,0 , 0 } associado ao autovalor - 1 , obtemos o conjunto { 1,0 , - 1 ,   0,1 , 1 ,   1,0 , 0 } que é LI, e consequentemente é uma base para R 3 . Além do mais, temos que:

T 1,0 , - 1 = 2 1,0 , - 1 = ( 2,0 , - 2 )

T 0,1 , 1 = 2 0,1 , 1 = ( 0,2 , 2 )

T 1,0 , 0 = - 1 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 0 )

Passo 3

Para completar o exercício, basta encontrarmos os coeficientes a , b e c tais que x , y , z = a 1 , 0 , - 1 + b 0 , 1 , 1 + c ( 1,0 , 0 ) para um vetor ( x , y , z ) qualquer, pois assim podemos escrever T ( x , y , z ) em relação a T ( 1 , 0 , - 1 ) , T 0 , 1 , 1 e T ( 1,0 , 0 ) . Temos que:

x , y , z = a 1,0 , - 1 + b 0,1 , 1 + c 1,0 , 0 ⇒

x , y , z = a + c , b , - a + b ⇒

a + c = x b = y - a + b = z

Usando a igualde b = y na última equação, ficamos com - a + y = z ⇒ a = y - z . Usando essa última igualdade na primeira equação, ficamos com y - z + c = x ⇒ c = x - y + z . Com isso, finalmente segue que:

T x , y , z = T y - z 1,0 , - 1 + y 0,1 , 1 + x - y + z 1,0 , 0 ⇒

T x , y , z = y - z T 1,0 , - 1 + y T 0,1 , 1 + x - y + z T 1,0 , 0 ⇒

T x , y , z = y - z 2,0 , - 2 + y 0,2 , 2 + x - y + z - 1,0 , 0 ⇒

T x , y , z = 2 y - z - x - y + z ,   2 y ,   - 2 y - z + 2 y ⇒

T x , y , z = ( - x + 3 y - 3 z ,   2 y , 2 z )

Portanto, a transformação T procurada é dada por T x , y , z = ( - x + 3 y - 3 z ,   2 y , 2 z ) .

Resposta

T x , y , z = ( - x + 3 y - 3 z ,   2 y , 2 z )