Em cada item dê um exemplo de TL:
que tenha como autoespaço associado ao autovalor e que tenham também como autovalor.
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!
Para resolver esse problema vamos utilizar o seguinte teorema:
Sejam autovalores distintos de e autoespaço associado a . Se são conjuntos LI’s, então a união deles também é LI.
Passo 2
Primeiramente, podemos observar que o autoespçao pode ser dado por . Agora, vamos escolher um autoespaço relacionado ao autovalor , respeitando , já que um vetor não pode estar associado a dois autovalores. Fazemos então . Sendo assim, pelo Teorema do Passo 1, segue que se juntarmos o conjunto LI do autoespaço associado ao autovalor com o conjunto LI associado ao autovalor , obtemos o conjunto que é LI, e consequentemente é uma base para . Além do mais, temos que:
Passo 3
Para completar o exercício, basta encontrarmos os coeficientes , e tais que para um vetor qualquer, pois assim podemos escrever em relação a , e . Temos que:
Usando a igualde na última equação, ficamos com . Usando essa última igualdade na primeira equação, ficamos com . Com isso, finalmente segue que:
Portanto, a transformação procurada é dada por .