Em cada item dê um exemplo de TL que tenha:

(a) (1, −2) e (0, 1) como autovetores associados aos autovalores −1/2 e 2 respectivamente;

(b) (1, −1, 1) e (1, 0, 1) como autovetores associados ao autovalor 3 e (0, 1, 1) ∈ Nuc(T).

Passo 1

Cara, que estão malandra é essa hein?! Topa resolvê-la junto comigo?

  1. O nosso primeiro passo vai ser multiplicar os autovetores por cada autovalor, assim:
  2. T 1 , - 2 = - 1 2 1 , - 2 = - 1 2 , 1

    T 0,1 = 2 0,1 = 0,2

    Nesse caso, como ( 1,0 ) = ( 1 , - 2 ) + 2 ( 0,1 ) então T 1,0 = - 1 2 , 5

    E pronto, basta jogarmos cada um desses valores na coluna da matriz [ T ] ε = - 1 2   0   5   2  

    Portanto, uma possível transformação linear T x , y = ( - x 2   ,   5 x + 2 y )

    Passo 2

  3. Para o tem B, a gente começa desenvolvendo igual na letra A, multiplicando os autovetores por cada autovalor, dessa forma:

T 1 , - 1,1 = 3 1 , - 1,1 = 3 , - 3,3

T 1,0 , 1 = 3 1,0 , 1 = 3,0 , 3

Vamos incluir o termo que pertence ao núcleo:

T 0,1 , 1 = 0

Desenvolvendo essas equações obtemos que T x , y , z = 3 x , 3 x + 3 y - 3 z , 3 x ) é uma transformação linear que satisfaz as condições impostas.

Resposta

  1. T x , y = ( - x 2   ,   5 x + 2 y )
  2. T x , y , z = 3 x , 3 x + 3 y - 3 z , 3 x )