Em cada item dê um exemplo de TL:

T : R 2 → R 2 que tenha 2 e 3 como autovalores associados respectivamente aos autoespaços x = y e x = - y .

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Para resolver esse problema vamos utilizar o seguinte teorema:

Sejam λ 1 ,   … ,   λ n autovalores distintos de T e H i autoespaço associado a λ i . Se β 1 ⊂ H 1 ,   … ,   β n ⊂ H n são conjuntos LI’s, então a união deles β 1 ⋃ … ⋃   β n também é LI.

Passo 2

Pelo teorema acima, se pegarmos o vetor ( 1,1 ) do autoespaço x = y e o vetor ( 1 , - 1 ) do autoespaço x = - y , o conjunto { 1,1 ,   1 , - 1 } será LI, de modo a formar uma base para R 2 . Além do mais, temos que:

T 1,1 = 2 1,1 = ( 2,2 ) e T 1 , - 1 = 3 1 , - 1 = ( 3 , - 3 )

Passo 3

Para completar o exercício, basta encontrarmos os coeficientes a e b tais que x , y = a 1,1 + b ( 1 , - 1 ) para um vetor ( x , y ) qualquer, pois assim podemos escrever T ( x , y ) em relação a T ( 1,1 ) e T ( 1 , - 1 ) . Temos que:

x , y = a 1,1 + b 1 , - 1 ⇒

x , y = a + b , a - b ⇒

a + b = x a - b = y

Somando as duas equações do sistema, ficamos com 2 a = x + y ⇒ a = x + y 2 . Substituíndo isso na primeira equação, ficamos com x + y 2 + b = x ⇒ b = x - x + y 2 = 2 x - x - y 2 = x - y 2 . Com isso, finalmente segue que:

T x , y = T x + y 2 1,1 + x - y 2 1 , - 1 ⇒

T x , y = x + y 2 T 1,1 + x - y 2 T 1 , - 1 ⇒

T x , y = x + y 2 2,2 + x - y 2 3 , - 3 ⇒

T x , y = 2 x + y + 3 x - y 2 , 2 x + y - 3 x - y 2 ⇒

T x , y = 5 x - y 2 , 5 y - x 2

Portanto, a transformação T procurada é dada por T x , y = 5 x - y 2 , 5 y - x 2   .

Resposta

T x , y = 5 x - y 2 , 5 y - x 2