Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com características pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:

a) (nº equações) = (nº variáveis), solução única;

b) (nº equações) = (nº variáveis), nenhuma solução;

c) (nº equações)

d) (nº equações) > (nº variáveis), solução única;

e) (nº equações) > (nº variáveis), nenhuma solução;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos apara o problema!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para os itens!!!

Passo 2

a) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:

x + y + z = 6 x - y - 2 z = - 7 x + 2 y + 3 z = 14

A matriz estendida desse sistema é dada por:

1 1         1 |         6 1 - 1 - 2 | - 7 1 2       3 | 14

Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:

1 0         0 |         1 0 1         0 |         2 0 0       1 |         3

Ou seja, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e além disso o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de variáveis, de modo que o sistema possui uma única solução, que podemos ver imediatamente que é dada por ( 1,2 , 3 ) .

b) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:

x + y + z = 6 x - y - 2 z = - 7 0 x + 0 y + 0 z = 1

Nesse caso, nem precisamos trabalhar com a matriz estendida do sistema, pois vemos imediatamente que ele possui uma equação degenerada, e assim podemos concluir que ele não possui solução.

c) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:

x + y + z = 1 2 x + 3 y + z = 10

A matriz estendida desse sistema é a seguinte:

1 1 1 | 1 2 3 1 | 10

Escalonando-a ficamos com:

1 0       2 | - 7 0 1 - 1 |       8

Logo, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes é menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos das explicações dadas no ‘Passo 1’ que o sistema em questão possui infinitas soluções.

d) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:

x + y = 10 2 x + 3 y = 27 2 x + 2 y = 20

A matriz estendida desse sistema é a seguinte:

1 1 | 10 2 3 | 27 2 2 | 20

Escalonando essa matriz, chegamos em:

1 0 | 3 0 1 | 7 0 0 | 0  

Portanto, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de variáveis do sistema, donde concluímos que ele possui uma única solução, que vemos imediatamente pela matriz acima que é dada por ( 3,7 ) .

e) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:

x + y = 10 2 x + 3 y = 27 0 x + 0 y = 20

Nesse caso, nem precisamos trabalhar com a matriz estendida do sistema, pois vemos imediatamente que ele possui uma equação degenerada, e assim podemos concluir que ele não possui solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)