Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com características pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:
a) (nº equações) = (nº variáveis), solução única;
b) (nº equações) = (nº variáveis), nenhuma solução;
c) (nº equações)
d) (nº equações) > (nº variáveis), solução única;
e) (nº equações) > (nº variáveis), nenhuma solução;
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos apara o problema!!!
Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam e a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:
1- Se o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma , por exemplo).
2- Se e o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).
3- Se e o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como , será pelo menos igual , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).
Com os conceitos frescos na mente, vamos para os itens!!!
Passo 2
a) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:
A matriz estendida desse sistema é dada por:
Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:
Ou seja, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e além disso o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de variáveis, de modo que o sistema possui uma única solução, que podemos ver imediatamente que é dada por .
b) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:
Nesse caso, nem precisamos trabalhar com a matriz estendida do sistema, pois vemos imediatamente que ele possui uma equação degenerada, e assim podemos concluir que ele não possui solução.
c) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:
A matriz estendida desse sistema é a seguinte:
Escalonando-a ficamos com:
Logo, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes é menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos das explicações dadas no ‘Passo 1’ que o sistema em questão possui infinitas soluções.
d) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:
A matriz estendida desse sistema é a seguinte:
Escalonando essa matriz, chegamos em:
Portanto, o posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de variáveis do sistema, donde concluímos que ele possui uma única solução, que vemos imediatamente pela matriz acima que é dada por .
e) Abaixo vemos um exemplo que se encaixa com os requisitos desse item:
Nesse caso, nem precisamos trabalhar com a matriz estendida do sistema, pois vemos imediatamente que ele possui uma equação degenerada, e assim podemos concluir que ele não possui solução.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)