Para cada matriz A abaixo determine todos λ   ∈   R de modo que a matriz A - λ I não seja invertível:

a. A = 4   2   1   3   ;

b. A = 1   0   0   2   1   2   1   1   0  

Passo 1

Faaaala, galera!

Primeiramente vamos utilizar a regra do triângulo, como mostra a figura abaixo:

Para não ser invertível, o determinante da matriz deve ser igual a zero. Logo:

d e t d e t   ( A - λ I )   = 1 - λ   0   0   2   1 - λ   2   1   1   0 - λ  

Seguindo o esquema da imagem, temos:

d e t d e t   ( A - λ I )   = - λ + 1 - λ + 1 - λ + 0 ∙ 2 ∙ 1 + 0 ∙ 2 ∙ 1 - 1 - λ + 1 ∙ 0 - 1 ∙ 2 - λ + 1 - ( - λ ) ∙ 2 ∙ 0

d e t d e t   ( A - λ I )   = - λ 3 + 2 λ 2 + λ - 2

Passo 2

Devemos obter as raízes de:

- λ 3 + 2 λ 2 + λ - 2 = 0

Fatorando a expressão, temos:

- λ - 1 λ 2 - λ - 2 = 0

λ - 1 = 0

λ = 1

Passo 3

Agora vamos obter as raízes de - ( λ 2 - λ - 2 ) = 0 .

Calculando o delta da equação:

∆ = b 2 - 4 a c

Δ = ( 1 ) 2 - 4 - 1 2 = 9

Pela fórmula de Bhaskara:

λ = - b ± ∆ 2 a

Passo 4

Agora devemos obter as raízes da equação. Substituindo valores, temos:

λ ' = - ( - 1 ) + 9 2 = 1 + 3 2

λ ' = 2

λ ' = - ( - 1 ) - 9 2 = 1 - 3 2

λ ' ' = - 1

Até a próximaaaa!

Resposta

λ = 1

λ ' = 2

λ ' ' = - 1