Para cada um dos sistemas de equações lineares a seguir, use o método de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja em forma escada. Indique se o sistema é ou não consistente. Se o sistema for possível e determinado (isto é, sem variáveis livres), use substituição para encontrar a única solução. Se o sistema for possível e indeterminado, coloqueo em forma escada reduzida por linhas e encontre todas as suas sol

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Começando com
  2. x 1 - 2 x 2 = 3

    2 x 1 - x 2 = 9

    aplicamos a operação de linha III subtraindo 2 vezes a equação nº 1 da equação nº 2, dando-nos

    x 2 = 1   ( 1 )

    substituindo x 2 = 1 na primeira equação, temos

    x 1 - 2 = 3

    x 1 = 5   ( 2 )

    juntando (2) e (1), concluímos que a tupla

    5,1

  3. Vamos transformar a matriz de coeficientes deste sistema em sua forma escalonada de linhas.
  4. 2 - 3 5 - 4 6 8 R 2 → R 2 + 2 R 1 2 - 3 5 0 0 18

    R 1 → 1 2 R 1 1 - 3 / 2 5 / 2 0 0 18

    A segunda linha da forma escalonada de linha nos dá a equação 0 x 1 + 0 x 2 = 18 , que não é satisfeita para nenhum valor x 1 e x 2 . Assim, o sistema é inconsistente.

    Passo 2

  5. Vamos transformar a matriz de coeficientes deste sistema em sua forma escalonada de linhas
  6. 1 1 0 2 3 0 3 - 2 0 R 3 → R 3 - 3 R 1 1 1 0 2 3 0 0 - 5 0

    R 2 → R 2 - 2 R 1 1 1 0 0 1 0 0 - 5 0

    R 3 → R 3 + 5 R 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0

    Usando a substituição regressiva, obtemos x 2 = 0 e x 1 = 0

  7. ‎Primeiro, escrever sistema de equações como matriz aumentada:‎
  8. 3 2 - 1 4 1 - 2 2 1 11 2 1 14

    ‎Em seguida, usamos eliminações gaussianas para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficiente é a forma de escalonada de linha.

    ‎Sistema é consistente e tem uma variável livre ‎ x 3 . ‎Prossiga transformando matriz em forma de escalão reduzida.‎

    E da forma reduzida temos a solução

    x   =   x 1 x 2 x 3   =   5 / 4   -   1 / 4 t 1 / 8 + 7 / 8 t t

    Passo 3

  9. ‎Recebemos um sistema de equações que tem a seguinte forma.‎
  10. ‎Portanto, a forma matricial deste sistema é‎

    ‎Vamos usar a eliminação gaussiana para obter a forma escalonada linha desta matriz‎

    ‎O sistema é consistente, uma vez que a matriz aumentada tem as mesmas linhas não-zero que a normal. No entanto, ele contém uma variável livre‎, x 3 .

    ‎A forma de escalão de linha reduzida nos dá as seguintes equações.‎

    ‎Desde ‎ x 3 é variável livre, se definirmos x 3 = α ‎, nós x 2 = - 5 + α   e x 1 = 8 - 2 α ‎‎. Portanto, todas as soluções do sistema dado são‎

    x 1 , x 2 , x 3 = 8 - 2 α , - 5 + α , α

    Passo 4

  11. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:
  12. A última linha da forma escalonada de linha nos dá a equação 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 7 , que não é satisfeita para nenhum valor de x 1 , x 2 e x 3 . Assim, o sistema é inconsistente.

  13. ‎Usando a eliminação gaussiana para obter matriz na forma de escalão de linha, temos‎
  14. ‎Da última linha da matriz segue que ‎ 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 5 ‎, que não está satisfeito com nenhum valor dessas variáveis. Portanto, o sistema é inconsistente.‎

  15. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:
  16. A última linha da forma escalonada de linha nos dá a equação 0 x 1 + 0 x 2 = 21 , que não é satisfeita para nenhum valor de x 1   e   x 2 . Assim, o sistema é inconsistente.

    Passo 5

  17. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:
  18. ‎Como não há variáveis gratuitas, há uma solução única para o sistema dado. Usando a substituição traseira, temos o seguinte:‎

    x 3 = 1

    x 2 - 3 / 2 x 3 = 0 → x 2 = 3 / 2

    x 1 - 2 x 2 + x 3 = - 2 → x 1 - 2 x 2 = - 3 → x 1 = 0

    Assim, a solução do sistema dado é x 1 , x 2 , x 3 = 0 , 3 2 , 1

  19. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:
  20. A partir do formulário escalonado de linhas, podemos ver que o sistema é consistente, mas contém uma variável livre ( x 4 ). Vamos obter a forma escalonada de linhas reduzida e encontrar todas as soluções.

    A forma escalonada de linhas reduzida nos dá as seguintes equações:

    x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 2 - 6 α , 4 + α , 3 - α , α

  21. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:
  22. A partir do formulário escalonado de linhas, podemos ver que o sistema é consistente, mas contém duas variáveis livres ( x 3   e   x 4 ). Vamos obter a forma escalonada de linhas reduzida e encontrar todas as soluções.

    A forma escalonada de linhas reduzida nos dá as seguintes equações:

    x 1 + 5 / 8 x 3 + x 4 = 15 / 4 → x 1 = 15 / 4 - 5 / 8 x 3 - x 4

    x 2 + 1 / 8 x 3 = - 1 / 4 → x 2 = - 1 / 4 - 1 / 8 x 3

    x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 15 4 - 5 8 α - β , - 1 4 - 1 8 α , α , β

  23. Usando a eliminação de Gauss para obter a matriz na forma escalonada de linhas, obtemos:

A partir do formulário escalonado de linhas, podemos ver que o sistema é consistente, mas contém uma variável livre. Vamos obter a forma escalonada de linhas reduzida e encontrar todas as soluções.

Resposta

Resposta nos passos.