Calcule:

(b) [0,6 0,2 0,4 0,8]^k

Passo 1

O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)

[0,6 - lambda 0,2 0,4 0,8 - lambda]

Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=2 e λ=5.

Passo 3

Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:

Para λ=1/55 é gerado o autovetor (-1,1) e para λ=1 gera-se (1/3,1).

Sabendo que P é justamente os autovetores, então P = [- 1 1 // 3 1 1] e a sua inversa P^(- 1) = [- (3)/(4) (1)/(4) (3)/(4) (3)/(4)]

Passo 4

E por fim, temos que A vale:

A = [(1)/(3) (1)/(3) (2)/(3) (2)/(3)]

Resposta

A = [(1)/(3) (1)/(3) (2)/(3) (2)/(3)]