Calcule:
(b)
Passo 1
O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- P é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!
Passo 2
O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)
Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=2 e λ=5.
Passo 3
Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:
Para λ=1/55 é gerado o autovetor (-1,1) e para λ=1 gera-se (1/3,1).
Sabendo que P é justamente os autovetores, então e a sua inversa
Passo 4
E por fim, temos que A vale: