Calcule:

(a) A^(10) para [1 0 - 1 2]

Passo 1

O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)

[1 - lambda 0 - 1 2 - lambda]

Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1 e λ=2.

Passo 3

Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:

Para λ=1 é gerado o autovetor (1,1) e para λ=2 gera-se (0,1).

Sabendo que P é justamente os autovetores, então P = [1 0 1 1] e a sua inversa P^(- 1) = [1 0 - 1 1]

Passo 4

E por fim, temos que A^(10) vale:

A^(10) = P D^(10) P^(- 1) = P [1^(10) 0 0 2^(10)] P^(- 1) = [1 0 - 1023 1024]

Resposta

A^(10) = [1 0 - 1023 1024]