Calcule:
(c) para (isto é, determine B tal que )
Passo 1
O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- P é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos, mas pra quê? Bom, o comando tá, literalmente, pedindo pra diagonalizar a matriz e obter o valor de !!
Passo 2
O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)
Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1, λ=16 e λ=49.
Passo 3
Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:
Para λ=1 é gerado o autovetor (2,-2,1), λ=16 gera-se (-1 , -1/2 , 1) e λ=49 gera (1/2,1,1)
Sabendo que P é justamente os autovetores, então e a sua inversa
Passo 4
E por fim, temos que: