Calcule:

(c) √ A para A = [13 14 4 14 24 18 4 18 29] (isto é, determine B tal que B^2 = A )

Passo 1

O primeiro passo aqui é relembrar a condição de que uma matriz é diagonalizável apenas quando existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos, mas pra quê? Bom, o comando tá, literalmente, pedindo pra diagonalizar a matriz e obter o valor de B = P sqrt(D) P^(- 1) !!

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)

[13 - lambda 14 4 14 24 - lambda 18 4 18 29 - lambda]

Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1, λ=16 e λ=49.

Passo 3

Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:

Para λ=1 é gerado o autovetor (2,-2,1), λ=16 gera-se (-1 , -1/2 , 1) e λ=49 gera (1/2,1,1)

Sabendo que P é justamente os autovetores, então P = [2 - 1 (1)/(2) - 2 - (1)/(2) 1 1 1 1] e a sua inversa P^(- 1) = [(2)/(9) - (2)/(9) (1)/(9) - (4)/(9) - (2)/(9) (4)/(9) (2)/(9) (4)/(9) (4)/(9)]

Passo 4

E por fim, temos que:

B = P sqrt(D) P^(- 1) = [3 2 0 2 4 2 0 2 5]

Resposta

[3 2 0 2 4 2 0 2 5]