Calcule a área do triângulo cujos vértices são:

a ) A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 3 , 0 ) e C ( 0 , 0 , 5 ) ;

b ) A ( 2 , - 1 , 1 ) , B ( 2 , 1 , - 1 ) e C ( 0 , 3 , - 5 )

Passo 1

Temos a fórmula para calcular a área de um paralelogramo definido por dois vetores u = ( a , b , c ) e v = ( x , y , z ) : A = | | u xx v | |

Mas, o exercício fala de triângulos, e agora? Vamos definir dois vetores pelos pontos dados e calcular metade da área do paralelogramo gerado por eles:

Passo 2

a ) A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 3 , 0 ) e C ( 0 , 0 , 5 ) ;

u = B - A = ( 2 - 0 , 3 - 0 , 0 - 0 ) = ( 2,3 , 0 )

v = C - A = ( 0 - 0,0 - 0,5 - 0 ) = ( 0,0 , 5 )

O produto vetorial de u = ( a , b , c ) e v = ( x , y , z ) é dado por :

u xx v = ( 3.5 - 0.5 ) i + ( 0.0 - 2.5 ) j + ( 2.0 - 3.0 ) k = ( 15 , - 10 , 0 )

O módulo de um vetor v = ( x , y , z ) é dado por | | v | | = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Então, A = | | u xx v | | = sqrt(1 5^2 + ( - 10 )^2 + 0^2) = sqrt(225 + 100) = sqrt(325) = 5 sqrt(13)

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, A = (5 sqrt(13))/(2)

Passo 3

b ) A ( 2 , - 1,1 ) , B ( 2,1 , - 1 ) e C ( 0 , 3 , - 5 ) ;

u = B - A = ( 2 - 2 , 1 - ( - 1 ) , - 1 - 1 ) = ( 0,2 , - 2 )

v = C - A = ( 0 - 2,3 - ( - 1 ) , - 5 - 1 ) = ( - 2,4 , - 6 )

O produto vetorial de u = ( a , b , c ) e v = ( x , y , z ) é dado por :

u xx v = ( 2 . - 6 - ( - 2.4 ) ) i + ( ( - 2 . - 2 ) - ( 0 . - 6 ) ) j + ( 4.0 - ( 2 . - 2 ) ) k = ( - 4 , 4,4 )

O módulo de um vetor v = ( x , y , z ) é dado por | | v | | = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Então, A = | | u xx v | | = sqrt(( - 4 )^2 + 4^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16 + 16) = sqrt(48) = 4 sqrt(3)

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, A = (4 sqrt(3))/(2) = 2 sqrt(3)

Resposta

a ) A = (5 sqrt(13))/(2)

b ) A = (4 sqrt(3))/(2) = 2 sqrt(3)