Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

  1. T(x, y, z) = (−x − 2y + 2z, y, z)

Passo 1

  1. A resolução dos outros itens já idênticos, no caso da letra B, a gente só tem que transformar os termos dados em uma matriz 3x3, assim:

- 1   - 2   2   0   1   0   0   0   1  

A partir daqui, para determinar o autovalor, basta aplicar det(A−λI), assim:

- 1 - λ   - 2   2   0   1 - λ   0   0   0   1 - λ   = - λ 3 + λ 2 + λ - 1 = - ( λ - 1 ) ⋅ ( λ 2 - 1 ) = - ( λ - 1 ) ⋅ ( λ - 1 ) ⋅ ( λ + 1 ) = 0

Desenvolvendo essa equação obtida, temos que os autovalores valem λ = 1   e   λ = - 1 .

Passo 2

Portanto o nosso próximo processo é substituir individualmente esses autovalores nos λ da matriz, logo, se

  • λ = 1
  • - 1 - 1   - 2   2   0   1 - 1   0   0   0   1 - 1   = - 2   - 2   2   0   0   0   0   0   0  

    Podemos escrever a matriz como o sistema, sendo { x = - y + z   y = y   ,   z = z         →       y - 1,1 , 0 + z ( 1,0 , 1 )   , logo, são a soluções/autoespaços :

    〈 ( - 1,1 , 0 ) 〉   ,   〈 ( 1,0 , 1 ) 〉

  • λ = - 1

- 1 - ( - 1 )   - 2   2   0   1 - ( - 1 )   0   0   0   1 - ( - 1 )   = 0   - 2   2   0   2   0   0   0   2  

Podemos escrever a matriz como o sistema, sendo { x = x   y = z = 0         →       x = y   e   y = y , logo a solução/autoespaço é:

y x   0   0   = 〈 ( 1,0 , 0 ) 〉

Resposta

b )   a u t o v e t o r   λ = 1   t e m   a u t o e s p a ç o   〈 - 1,1 , 0 〉   ,   〈 1,0 , 1 〉   e     λ = - 1   〈 ( 1,0 , 0 ) 〉