Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

(a) (a) T(x, y) = (x − y, 2x + 3y)

Passo 1

Ah questãozinha safada, nosso primeiro passo aqui vai ser reescrever como matriz

1   - 1   2   3  

Passo 2

Beleza beleza, tudo tranquilo por enquanto. O próximo passo é aplicar det(T−λI) na matriz:

1   - 1   2   3   = λ 2 - 4 λ + 5 = ( λ - ( 2 - i ) ) * ( λ - ( 2 + i ) )

As raízes obtidas, sendo λ = 2 - i   ;   λ = 2 + i . Acabou? Nananina não!

Passo 3

E por fim, vamos encontrar os autoespaços, substituindo cada um dos autovalores na matriz, assim:

  • λ = 2 - i   gera - 1 + i   - 1   2   1 + i  
  • Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

    1   1 + i 2   0   0   = { x = - 1 - i 2 y   y = y       =       - 1 - i 2 , 1

    E vamos repetir o mesmo processo com o outro autovalor.

  • λ = 2 + i gera   - 1 - i   - 1   2   1 - i  

Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

1   1 - i 2   0   0   = { x = - 1 + i 2 y   y = y       =       - 1 + i 2 , 1

E o próximo passo é... brincadeira, já terminamos essa questão! Topa resolver outra?

Resposta

λ = 2 - i     g e r a   - 1 - i 2 , 1   ; λ = 2 + i     g e r a   - 1 + i 2 , 1