Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

c) 0   0   - 1   0     1   - 1   1   - 1     0   0   0   0     0   0   0   1    

Passo 1

  1. O nosso primeiro passo na letra A é determinar o autovalor, basta aplicar det(A−λI), assim:

0 - λ   0   - 1   0 - λ     1               - 1   1               - 1     0                 0   0               0     0 - λ   0   0   1 - λ     = λ 4 - λ 3 = λ 3 ⋅ ( λ - 1 ) = 0

Desenvolvendo essa equação obtida, temos que os autovalores valem λ = 0   e   λ = 1 .

Passo 2

Portanto o nosso próximo processo é substituir individualmente esses autovalores nos λ da matriz, logo, se

  • λ = 0
  • 0   0   - 1   0     1     - 1   1     - 1     0                 0           0               0           0         0   0         1    

    Podemos escrever a matriz como o sistema, sendo { z = w   x = z - w     z = z   w = 0           →       x = z = w = 0   e   y = y , logo a solução/autoespaço é:

    〈 ( 0 ,   1,0 , 0 ) 〉

  • λ = 1

- 1   0   - 1   - 1     1               - 1   1               - 1     0                 0   0               0     - 1   0   0   0    

Podemos escrever a matriz como o sistema, sendo { x = z - w = - w   y = - x + z - w = w - w = 0     z = 0   w = w           →       x = - 1 ,   y = 0 , z = 0 , w = 1 , logo a solução/autoespaço é:

〈 ( - 1,0 , 0,1 ) 〉

Resposta

c )     a u t o v e t o r   λ = 0   t e m   a u t o e s p a ç o   〈 ( 0 ,   1,0 , 0 ) 〉   e     λ = 1   〈 ( - 1,0 , 0,1 ) 〉