Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

(e) 3   0   0   0   3   2   0   - 1   0  

Passo 1

Beleza beleza, tudo tranquilo por enquanto. O próximo passo é aplicar det(T−λI) na matriz:

3 - λ   0   0   0   3 - λ   2   0   - 1   0 - λ   = - λ 3 + 6 λ 2 - 11 λ + 6 = - ( λ - 1 ) ( λ 2 - 5 λ + 6 ) = - ( λ - 1 ) ( λ - 2 ) * ( λ - 3 ) = 0

As raízes obtidas, sendo λ = 1   ;   λ = 2   ;   λ = 3 . Acabou? Nananina não!

Passo 2

E por fim, vamos encontrar os autoespaços, substituindo cada um dos autovalores da matriz, assim:

  • λ = 1 gera   2   0   0   0   2   0   0   - 1   - 1  
  • Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

    1   0   0   0   1   1   0   0   0   = { x = 0   y = - z   z = z       =       ( 0 , - 1,1 )

    E vamos repetir o mesmo processo com os outros autovalores.

  • λ = 2 gera   1   0   0   0   1   2   0   - 1   - 2  
  • Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

    1   0   0   0   1   2   0   0   0   = { x = 0   y = - 2 z   z = z       =       ( 0 , - 2,1 )

  • λ = 3 gera   0   0   0   0   0   2   0   - 1   - 3  

Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

0   1   0   0   0   1   0   0   0   = { x = x   y = 0   z = 0       =       ( 1,0 , 0 )

E o próximo passo é... brincadeira, já terminamos essa questão! Topa resolver outra?

Resposta

λ = 1   g e r a   ( 0 , - 1,1 )   ;   λ = 2   g e r a   ( 0 , - 2,1 )   ;   λ = 3   g e r a   ( 1,0 , 0 )