Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

(d) uma projeção ortogonal numa reta em R 3 com P ( 1 ,   - 1 ,   0 )   =   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Passo 1

Ahh meu amigo estudante, aqui a gente vai usar a carta secreta de macete do Responde Aí pra responder ligeiro ligeiro, então pode mandar !!

Então, se a gente já sabe que é uma projeção ortogonal em RETA, logo, toda direção vai ser perpendicular ao vetor (1,-1,0) é levado em zero. Pronto, aqui a gente já descobriu o raciocínio da questão.

Passo 2

Portanto, logo de cara fica claro que quando tivermos o autovalor 1 (1,-1,0) será um autovetor e, ainda mais, se reescrevermos a projeção P como sistema, temos:

{ x = - y   y = y   ;   z = z         →       y { - 1   1   0   + z { 0   0   1  

Ou seja, esses termos obtidos no sistema são soluções de autovetor quando o autovalor for 0. Terminamos! Aprovado o jeito Responde Aí de destruir questões?

Resposta

λ = 1     g e r a   ( 1 , - 1,0 ) ; λ = 0     g e r a     ( - 1,1 , 0 )   e   ( 0,0 , 1 )