Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

(b) T(x, y, z) = (x − 2y, −y, −y);

Passo 1

Ah questãozinha safada, nosso primeiro passo aqui vai ser reescrever como matriz

1   - 2   0   0   - 1   0   0   - 1   0  

Passo 2

Beleza beleza, tudo tranquilo por enquanto. O próximo passo é aplicar det(T−λI) na matriz:

1 - λ   - 2   0   0   - 1 - λ   0   0   - 1   0 - λ   = - λ 3 + λ = - λ ⋅ ( λ 2 - 1 ) = - λ ⋅ ( λ - 1 ) ⋅ ( λ + 1 ) = 0

As raízes obtidas, sendo λ = 0   ;   λ = 1   ;   λ = - 1 . Acabou? Nananina não!

Passo 3

E por fim, vamos encontrar os autoespaços, substituindo cada um dos autovalores na matriz, assim:

  • λ = 0 gera   1   - 2   0   0   - 1   0   0   - 1   0  
  • Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

    1   0   0   0   1   0   0   0   0   = { x = 0   y = 0   z = z       =       ( 0,0 , 1 )

    E vamos repetir o mesmo processo com os outros autovalores.

  • λ = 1 gera   0   - 2   0   0   - 2   0   0   - 1   - 1  
  • Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

    0   1   0   0   1   1   0   0   0   = { x = x   y = 0   z = 0       =       ( 1,0 , 0 )

  • λ = - 1 gera   - 2   - 2   0   0   0   0   0   - 1   1  

Este é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss, obteremos:

1   0   - 1   0   1   - 1   0   0   0   = { x = z   y = z   z = z       =       ( 1,1 , 1 )

E o próximo passo é... brincadeira, já terminamos essa questão! Topa resolver outra?

Resposta

λ = 0   g e r a   0,0 , 1   ;   λ = 1   g e r a   1,0 , 0   ;   λ = - 1   g e r a   ( 1,1 , 1 )