Calcule autovalores e autovetores para determinar se é reflexão ou projeção. Determine em torno do que (plano ou reta) se dá a reflexão ou projeção.
Passo 1
O segredo dessa questão é primeiro encontrar os autovalores, depois os autovetores e por fim fazer uma análise dos resultados.
Para encontrar os autovalores vamos aplicar det(T-λI), assim:
Logo, os autovalores são .
Passo 2
Seguindo o processo, para obter os autovetores, vamos substituir pelos autovalores, se:
Este é um sistema de equações lineares que pode ser resolvido por eliminação de Gauss, obtendo:
Este é um sistema de equações lineares que pode ser resolvido por eliminação de Gauss, obtendo:
Passo 3
Portanto, as soluções dos sistemas são os autovetores (-1,1,0) ; (0,0,1) , (1,1,0), mas o que pode ser afirmado a partir desses valores? Pensa só, concorda que (-1,1,0) e (1,1,0) são perpendiculares? Ou seja, o plano (-1,1,0), reescrito por x+y=0, não altera quando refletido na direção (1,1,0), pois este é multiplicado por -1. Aqui tá moleza né? Ficou bem claro que nós temos uma reflexão em torno do plano x+y=0 !!!
Resposta
Reflexão em torno do plano x+y=0