Calcule autovalores e autovetores para determinar se 0   - 1   0   - 1   0   0   0   0   1   é reflexão ou projeção. Determine em torno do que (plano ou reta) se dá a reflexão ou projeção.

Passo 1

O segredo dessa questão é primeiro encontrar os autovalores, depois os autovetores e por fim fazer uma análise dos resultados.

Para encontrar os autovalores vamos aplicar det(T-λI), assim:

0 - λ   - 1   0   - 1   0 - λ   0   0   0   1 - λ   = - λ 3 + λ 2 + λ - 1 = - ( λ - 1 ) ( λ 2 - 1 ) = - ( λ - 1 ) ( λ - 1 ) ( λ + 1 )

Logo, os autovalores são λ = 1   e   λ = - 1 .

Passo 2

Seguindo o processo, para obter os autovetores, vamos substituir λ pelos autovalores, se:

  • λ = 1
  • - 1   - 1   0   - 1   - 1   0   0   0   0  

    Este é um sistema de equações lineares que pode ser resolvido por eliminação de Gauss, obtendo:

    1   1   0   0   0   0   0   0   0         →       x = - y   ,   y = y ,   z = z       →     y - 1   1   0   + z   0   0   1  

  • λ = - 1

1   - 1   0   - 1   1   0   0   0   2  

Este é um sistema de equações lineares que pode ser resolvido por eliminação de Gauss, obtendo:

1   - 1   0   0   0   1   0   0   0         →       x = y   ,   y = y ,   z = 0       →     y 1   1   0  

Passo 3

Portanto, as soluções dos sistemas são os autovetores (-1,1,0) ; (0,0,1) , (1,1,0), mas o que pode ser afirmado a partir desses valores? Pensa só, concorda que (-1,1,0) e (1,1,0) são perpendiculares? Ou seja, o plano (-1,1,0), reescrito por x+y=0, não altera quando refletido na direção (1,1,0), pois este é multiplicado por -1. Aqui tá moleza né? Ficou bem claro que nós temos uma reflexão em torno do plano x+y=0 !!!

Resposta

Reflexão em torno do plano x+y=0