Calcule cada um dos determinantes seguintes

a) 1 2 - 1 3 1 2 - 1 1 - 2 3 3 1 0 2 - 1 5 1 2 - 3 4 - 2 3 - 1 1 - 2

b) 1 3 5 7 9 2 4 2 4 2 0 0 1 2 3 0 0 5 6 2 0 0 2 3 1

c) 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 0 6 5 1 0 0 0 7 4 0 0 0 2 3

Passo 1

Oieee, vamos lá praticar determinantes

Lembrando que para calcular o determinante de uma matriz 5x5, vamos primeiro reduzir para uma matriz 4x4 utilizando algum pivô, depois reduzimos para uma 3x3 e depois calculamos o determinante assim:

a b c d e f g h i a b d e g h = a . e . i + b . f . g + c . d . h - c . e . g - a . f . h - b . d . i

Então vamos lá!

Passo 2

a) 1 2 - 1 3 1 2 - 1 1 - 2 3 3 1 0 2 - 1 5 1 2 - 3 4 - 2 3 - 1 1 - 2

Vamos usar o elemento a 11 como pivô pra zerar os elementos da primeira coluna, fazendo as operações:

L 2 → L 2 - 2 L 1

L 3 → L 3 - 3 L 1

L 4 → L 4 - 5 L 1

L 5 → L 5 + 2 L 1

Então:

1 2 - 1 3 1 0 - 5 3 - 8 1 0 - 5 3 - 7 - 4 0 - 9 7 - 18 - 1 0 7 - 3 7 0

E então “eliminamos” a primeira linha e a primeira coluna, ficando apenas com a matriz:

- 5 3 - 8 1 - 5 3 - 7 - 4 - 9 7 - 18 - 1 7 - 3 7 0

Que tem determinante igual a -32

Passo 3

b) 1 3 5 7 9 2 4 2 4 2 0 0 1 2 3 0 0 5 6 2 0 0 2 3 1

Vamos usar o elemento a 11 como pivô pra zerar os elementos da primeira coluna, fazendo as operações:

L 2 → L 2 - 2 L 1

Então:

1 3 5 7 9 0 - 2 - 8 - 10 - 16 0 0 1 2 3 0 0 5 6 2 0 0 2 3 1

E então “eliminamos” a primeira linha e a primeira coluna, ficando apenas com a matriz:

- 2 - 8 - 10 - 16 0 1 2 3 0 5 6 2 0 2 3 1

Que tem determinante igual a -14

Passo 4

c) 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 0 6 5 1 0 0 0 7 4 0 0 0 2 3

Vamos usar o elemento a 11 como pivô pra zerar os elementos da primeira coluna, fazendo as operações:

L 2 → L 2 - 5 L 1

Então:

1 2 3 4 5 0 - 6 - 12 - 18 - 24 0 0 6 5 1 0 0 0 7 4 0 0 0 2 3

E então “eliminamos” a primeira linha e a primeira coluna, ficando apenas com a matriz:

- 6 - 12 - 18 - 24 0 6 5 1 0 0 7 4 0 0 2 3

Que tem determinante igual a -468

Resposta

a) -32

b) -14

c) -468