Calcule a imagem e o núcleo de cada uma das TLs abaixo:

(c) T : P2 → P3 definida por T(p)(x) = xp(x) ∀x ∈ R.

Passo 1

c) Calma calma, não precisa ficar perdidão na questão que a gente vai desenrolar facinho, saca só, traduzindo o enunciado da questão, nós temos uma transformação linear de um polinômio de segundo grau para um polinômio de grau 3. Beleza beleza, até aqui tá tranquilo, mas como mensurar a imagem e o núcleo da transformação do polinômio x que é a soma de valores reais??

Passo 2

O finalzinho do enunciado da questão nos dá uma dica muito boa de como desenvolver a questão, se a equação é T(p)(x) = xp(x), e sabendo que a transformação tende a ir pra um polinômio de terceiro grau, então fica na cara que os possíveis valores que T vai assumir são ( x , x 2 , x 3 ) , ou seja, ou valores de T, representam a I m ( T ) =   ( x , x 2 , x 3 ) .

Tá mas e sobre o núcleo, o que podemos deduzir? Bom, concorda que a imagem pode ter dimensão máxima de 3 e não só isso, maaaas qual a dimensão do contradomínio da transformação linear?? Isso mesmo, é 3 ! Ou seja, se aplicarmos esses valores na fórmula do Teorema do núcleo e da Imagem, teremos que:

d i m N u c T = n - dim ⁡ I m T = 3 - 3 = 0

E prontinho, acabamos mais uma questão hein, pode mandar a próxima

Resposta

I m T =   x , x 2 , x 3   ;   N u c T = 0