Calcule a imagem e o núcleo de cada uma das TLs abaixo:

(d) T : C 1 (R; R) → C(R; R) definida por T(f) = f’ .

Passo 1

c) Calma calma, não precisa ficar perdidão na questão que a gente vai desenrolar facinho, saca só, traduzindo o enunciado da questão, nós temos uma transformação linear de valores reais, a ideia era derivar a função f e avaliar o núcleo e a imagem, porém, não temos uma função propriamente definida.

Solução pra isso? Moleza, vamos usar nosso conhecimento de Cálculo, dá uma lembrada aí sobre o Teorema Fundamental do Cálculo. A partir desse raciocínio, considera-se g ∈ C(R; R), então a partir daqui, definimos:

h x = ∫ 0 x g s   d s

Para desenrolar essa integral, é só usar o raciocínio do Teorema e considerar que h   C 1 ( R ;   R ) e a própria transformação T vale T(h)=g. Isso significa o quê, então? Se T=g, sendo g um valor qualquer, podemos dizer que o núcleo é constante e que a imagem é C(R; R) !

Finalizamos por aqui, guerreiro!!

Resposta

I m T =   C ( R ;   R )   ;   N u c T = c o n s t a n t e