Calcule a integral.

int_0^1 x^3 e^(- x^2) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral definida composta por um produto de funções: x^3 e e^(- x^2) . Para simplificar a resolução da integral, vamos aplicar método da substituição em que - x^2 será substituída por uma variável mais simples denominada, arbitrariamente, u.

u = - x^2 ; d u = - 2 x d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

- (d u)/(2) = x d x

Fazendo a substituição na integral,

int_0^1 x xx x^2 xx e^(- x^2) d x

- (1)/(2) int_0^1 u e^(- u) d x

Aplicando a integração por partes,

f = u ; d f = 1 d u

d g = e^u d u ; g = e^u

Assim,

- (1)/(2) int_0^1 u e^u d x = - (1)/(2) (u e^u - int e^u d u)

= - (1)/(2) (u e^u - e^u)

Passo 3

Calculando os limites, temos que

- (1)/(2) int_0^1 u e^(- u) d x = (1)/(2) [u e^u - e^u]_0^1

= - (1)/(2) ( - 1 + (2)/(e) )

Logo,

int_0^1 x^3 e^(- x^2) d x = - (- e + 2)/(2 e)

Até a próxima! =]

Resposta

- (- e + 2)/(2 e)