Calcule a integral.

int e^(- x) s e n ( x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: s e n ( x ) e e^(- x) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = e^(- x) ; d f = - e^(- x) d x

d g = - c o s ( x ) ; g = s e n ( x ) d x

Assim,

int e^(- x) s e n ( x ) d x = - e^(- x) c o s ( x ) - int ( ( - e^(- x) ) ( - cos (x) ) d x

= - e^(- x) c o s ( x ) - int e^(- x) c o s ( x ) d x

Passo 3

Para a integração da segunda integral, vamos aplicar novamente a integração por partes

f = e^(- x) ; d f = - e^(- x) d x

d g = s e n ( x ) ; g = c o s ( x ) d x

Assim,

int e^(- x) cos (x) d x = e^(- x) s e n (x) - int - e^(- x) s e n (x) d x

Passo 4

Retornando a integral inicial,

int e^(- x) s e n ( x ) d x = - e^(- x) c o s ( x ) - (e^(- x) s e n (x) - int - e^(- x) s e n (x) d x)

Observe que encontramos novamente a integral inicial e podemos concluir que não vale a pena integrar novamente. Para encerrarmos a questão, vamos isolar a integral int - e^(- x) s e n (x) d x no lado esquerdo da igualdade

2 int e^(- x) s e n ( x ) d x = - e^(- x) c o s ( x ) - e^(- x) s e n (x)

int e^(- x) s e n ( x ) d x = - (e^(- x) cos (x))/(2) - (e^(- x) s e n (x))/(2) + C

Até a próxima! =]

Resposta

- (e^(- x) c o s (x))/(2) - (e^(- x) s e n (x))/(2) + C