Calcule a integral.

int x e^(- 2 x) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: x e e^(- 2 x) . Para simplificar a resolução da integral, vamos aplicar método da substituição em que - 2 x será substituída por uma variável mais simples denominada, arbritariamente, u.

u = - 2 x ; d u = - 2 d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

(u)/(- 2) = x ; (1)/(- 2) d u = d x

Fazendo a substituição na integral,

int (u e^u)/(4) d u

(1)/(4) int u e^u d u

Vamos aplicar o método de integração por partes,

f = u ; d f = 1 d u

d g = e^u d u ; g = e^u

Assim,

(1)/(4) int u e^u d u = u e^u - int e^u d u

= (1)/(4) ( u e^u - e^u )

Desfazendo a substituição

= (1)/(4) ( - 2 x e^(- 2 x ) - e^(- 2 x ) )

Logo,

int x e^(- 2 x) d x = (1)/(4) ( - 2 x e^(- 2 x ) - e^(- 2 x ) ) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(1)/(4) ( - 2 x e^(- 2 x ) - e^(- 2 x ) ) + C