Calcule a integral.

int x^2 l n ( x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: x^2 e l n ( x ) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = l n ( x ) ; d f = (1)/(x) d x

d g = x^2 ; g = (1)/(3) x^3 d x

Assim,

int x^2 l n ( x ) d x = (1)/(3) x^3 l n (x) - int (1)/(3) x^3 xx (1)/(x) d x

= (1)/(3) x^3 l n (x) - int (1)/(3) x^2 d x

= (1)/(3) x^3 l n (x) - (1)/(3) int x^2 d x

A integral do segundo termo é conhecida e podemos resolvê-la diretamente,

= (1)/(3) x^3 l n (x) - (1)/(3) ((1)/(3) x^3)

Logo,

int x^2 l n ( x ) d x = (1)/(3) x^3 l n (x) - (1)/(9) x^3 + C

Até a próxima! =]

Resposta

(1)/(3) x^3 l n ( x ) - (1)/(9) x^3 + C