Calcule a integral.

int x a r c t g ( x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: a r c t g ( x ) e x . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = a r c t g ( x ) ; d f = (1)/(x^2 + 1) d x

d g = x ; g = (1)/(2) x^2 d x

Assim,

int x a r c t g ( x ) d x = (1)/(2) x^2 a r c t g ( x ) - int (1)/(2) xx (x^2)/(x^2 + 1) d x

= (1)/(2) x^2 a r c t g ( x ) - (1)/(2) int (x^2)/(x^2 + 1) d x

Passo 3

Para a integração da segunda integral, vamos reescrever a função da seguinte forma

int (x^2)/(x^2 + 1) d x

int (- (1)/(x^2 + 1) + 1) d x

Pela regra da soma, nós podemos resolver separando as integrais

int f (x) +- g (x) d x = int f (x) d x +- int g (x) d x

int (- (1)/(x^2 + 1) + 1) d x = - int (1)/(x^2 + 1) d x + int 1 d x

int (- (1)/(x^2 + 1) + 1) d x = - a r c t g (x) + x

Passo 4

Retornando a integral inicial,

int x a r c t g ( x ) d x = (1)/(2) x^2 a r c t g ( x ) - (1)/(2) int (x^2)/(x^2 + 1) d x

int x a r c t g ( x ) d x = (1)/(2) x^2 a r c t g (x) - (1)/(2) ( - a r c t g (x) + x ) + C

Até a próxima! =]

Resposta

(1)/(2) x^2 a r c t g ( x ) - (1)/(2) ( - a r c t g ( x ) + x ) + C