Calcule a integral.

int a r c t g ( x ) d x

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com técnicas de integração e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses métodos.

De forma sucinta, uma integral pode ser definida como a área resultante de uma região curva não simétrica que pode apresentar limites de integração (integral definida) ou não (integral indefinida). No caso de uma integral indefinida, o seu resultado é uma função f que é conhecida como sendo a primitiva de f .

Algumas funções simples já tem suas primitivas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A técnica apresentada aqui é aplicada para ambos os casos.

  • Integração por partes

O método da integração por partes está relacionado com a regra do produto para derivadas. Caso não lembre da fórmula, aqui vai uma rápida dedução. Primeiro aplicar a integral em todos os termos

int (f g)^' = int g d f + int f d g

A integral da derivada se anula ficando apenas f g e, isolando o último termo, temos

int f d g = f g - int g d f

Para simplificar a resolução, às vezes, é necessário fazer a substituição de alguns termos por uma variável singular. Deve-se ter atenção tanto na substituição do termo e sua derivada, assim como quando desfazer a substituição.

Passo 2

Analisando a integral, pode-se observar que ela é uma integral indefinida (não possui intervalos de integração) e é composta por um produto de funções: 1 e a r c t g ( x ) . Tendo isso mente, vamos denominar f , g , d f e d g

f = a r c t g ( x ) ; d f = (1)/(1 + x^2) d x

d g = 1 d x ; g = x d x

Assim,

int a r c t g ( x ) d x = x a r c t g ( x ) - int (x)/(1 + x^2) d x

Passo 3

Para a integração da segunda integral, aplicar método da substituição em que x^2 + 1 será substituída por uma variável mais simples denominada, arbitrariamente, u.

u = x^2 + 1 ; d u = 2 x d x

Para que seja possível a troca na integral, faremos

(d u)/(2) = x d x

Fazendo a substituição na integral,

(1)/(2) int (1)/(u) d u

Essa integral é conhecida e podemos resolvê-la diretamente sem utilização de algum método,

(1)/(2) l n | u |

Passo 4

Desfazendo a substituição

(1)/(2) l n | x^2 + 1 |

Passo 5

Retornando a integral inicial,

int a r c t g ( x ) d x = x a r c t g ( x ) - (1)/(2) l n | x^2 + 1 | + C

Até a próxima! =]

Resposta

x a r c t g ( x ) - (1)/(2) l n | x^2 + 1 | + C